Anexo: Deducción de las fórmulas (avanzado)

En primer lugar, deducimos cuál es la probabilidad de obtener unos IV’s 15/15/15 en una incursión concreta. Como el valor más bajo para cada IV es 10 y, por tanto, hay 6 valores posibles para cada uno (10, 11, 12, 13, 14 y 15), el número total de combinaciones de IV’s posibles es 6 elevado a 3. Entonces como, obviamente, para el 100% solo existe la combinación 15/15/15, la probabilidad de obtener el 100% es 1/6³ = 0,0046 sobre uno (0,46%).

Si, en cambio, queremos hallar la probabilidad de obtener, por ejemplo, un 96%, el número de combinaciones posibles aumenta a 6:

  • 15/15/13
  • 15/13/15
  • 13/15/15
  • 15/14/14
  • 14/15/14
  • 14/14/15

Y, entonces, la probabilidad de conseguir un 96% es 6/6³ = 0,028 sobre uno (2,8%). Siguiendo esta dinámica verás que el número de combinaciones para conseguir un IV mayor que 93% (96, 98 y 100%) es 6 + 3 + 1 = 10.

¿Cuál es la probabilidad entonces de conseguir dos 100% en dos incursiones? Fácil, el producto de las probabilidades, es decir un 0,002%:

\left ( 1 \over 6^3 \right ) * \left ( 1 \over 6^3 \right ) = \left ( 1 \over 6^3 \right )^2 = 0,00002

¿Y la de conseguir uno con un IV superior a 93%? Un 5%:

\left ( 10 \over 6^3 \right ) = 0,05

Como podrás deducir, la probabilidad de conseguir x Pokémon con unos IV’s cuyo número de combinaciones es n será:

\left ( n \over 6^3 \right )^x

¿Y cuál es entonces la probabilidad de NO obtener un Pokémon con esas combinaciones de IV’s? Pues solo tenemos que sustituir la probabilidad en cada incursión por su probabilidad complementaria. Es decir si la probabilidad de obtenerlo es un 5%, la de NO obtenerlo será un 95%. Con lo cual, si hacemos x incursiones, la probabilidad de NO obtener unos IV’s cuyo número total de combinaciones es n será:

\left (1- {n \over 6^3} \right )^x

¡Genial! Esto se parece cada vez más a la fórmula que usamos en la página anterior. Pero resulta que la fórmula anterior nos da la probabilidad de NO conseguir una de las n combinaciones. La probabilidad que necesitamos es la de conseguir ALGUNA (una o más) de esas n combinaciones, es decir, su complementaria:

1-\left (1- {n \over 6^3} \right )^x¡E voilà! La fórmula anterior nos da la probabilidad sobre uno de conseguir alguna de esas n combinaciones de IV’s tras realizar x incursiones.


 

Anexo del anexo: prepara el ibuprofeno… Es broma 😉

Podemos extendernos aún más. Tratemos de llegar a esta última fórmula de otra manera. Imaginemos un caso sencillo en el que hacemos 3 incursiones y queremos calcular la probabilidad de que al menos en una de ellas obtenemos un Pokémon 100%.

Como hemos dicho la probabilidad de que en una de ellas obtengamos un 100% es 1/6³ y la de que no lo obtengamos su complementaria, 1 – 1/6³. A partir de aquí podemos obtener las probabilidades de los distintos casos en los que en una incursión obtenemos un 100% (✅) y en las otras dos lo obtenemos también o no (🚫):

Caso Probabilidad
✅🚫🚫 {1 \over 6^3 }\left ( 1-{1 \over 6^3} \right )^2
🚫✅🚫 {1 \over 6^3 }\left ( 1-{1 \over 6^3} \right )^2
🚫🚫✅ {1 \over 6^3 }\left ( 1-{1 \over 6^3} \right )^2
✅✅🚫 \left ( 1 \over 6^3 \right )^2\left ( 1 - {1 \over 6^3} \right )
✅🚫✅ \left ( 1 \over 6^3 \right )^2\left ( 1 - {1 \over 6^3} \right )
🚫✅✅ \left ( 1 \over 6^3 \right )^2\left ( 1 - {1 \over 6^3} \right )
✅✅✅ \left ( 1 \over 6^3 \right )^3

 

Si sumamos estas siete probabilidades resulta que:

{3 \over 6^3}\left ( 1 - {1 \over 6^3} \right )^2 + 3\left ( 1 \over 6^3 \right )^2\left ( 1 - {1 \over 6^3} \right ) + \left ( 1 \over 6^3 \right )^3 = 1 - \left (1- {1 \over 6^3} \right )^3

¡Sorpresa! Hemos llegado a la misma formula de nuevo. Para entender lo que está ocurriendo matemáticamente podemos recurrir al Binomio de Newton, que, básicamente estipula que:

{\displaystyle {(x+y)^{r}=\sum _{k=0}^{r}{r \choose k}x^{r-k}y^{k}}}

¿No te has dado cuenta de que los términos de nuestra anterior igualdad son en realidad términos del Binomio de Newton? Podemos verlo fácilmente descomponiendo el número uno, que se corresponde con el 100% de los casos, en términos de la probabilidad de conseguir un Pokémon 100%, 1/6³, y la de no conseguirlo, (1 – 1/6³):

1 = \left ( {1 \over 6^3} + \left ( 1 - {1 \over 6^3} \right ) \right )^x = \sum_{k=0}^{x}\begin{pmatrix} x \\ k \end{pmatrix}\left ( 1 \over 6^3 \right )^{x-k}\left ( 1 - {1 \over 6^3} \right )^k

Si te fijas, en la tabla anterior falta el caso de no obtener ningún Pokémon 100% (🚫🚫🚫), cuya probabilidad es:

\left ( 1-{1 \over 6^3} \right )^3

¡Aaamigo! Vas entendiendo mejor esto, ¿verdad? Resulta que para x = 3 en nuestra descomposición del número uno anterior los términos son estos:

1 = \left ( 1 \over 6^3 \right )^3 + 3\left ( 1 \over 6^3 \right )^2\left ( 1 - {1 \over 6^3} \right ) + {3 \over 6^3}\left ( 1 - {1 \over 6^3} \right )^2 + \left (1- {1 \over 6^3} \right )^3

Si restamos el último término del Binomio en ambos lados llegamos otra vez a la igualdad que deducimos de la tabla:

{3 \over 6^3}\left ( 1 - {1 \over 6^3} \right )^2 + 3\left ( 1 \over 6^3 \right )^2\left ( 1 - {1 \over 6^3} \right ) + \left ( 1 \over 6^3 \right )^3 = 1 - \left (1- {1 \over 6^3} \right )^3

Podemos obtener una fórmula aún más específica e interesante del Binomio de Newton. Date cuenta de que cada término del Binomio representa la probabilidad de obtener un número concreto de Pokémon 100%, en lugar de la probabilidad de obtener uno o más, que es la fórmula que utilizamos en la página anterior.

Entonces, la probabilidad de obtener k Pokémon 100% haciendo x incursiones es:

P_{k/x} = \begin{pmatrix} x \\ k \end{pmatrix}\left ( 1 \over 6^3 \right )^k\left ( 1 - {1 \over 6^3} \right )^{x-k}

Si lo que queremos es la probabilidad de obtener un Pokémon con un IV mayor que un valor concreto basta con sustituir la probabilidad de obtener un 100%, 1/6³, por la correspondiente según el número n de combinaciones, n/6³.

Por tanto, dadas n combinaciones para una cota de IV concreto, la probabilidad de obtener k de esas combinaciones (repetidas o no) tras realizar x incursiones es:

P_{k/x}^n = \begin{pmatrix} x \\ k \end{pmatrix}\left ( n \over 6^3 \right )^k\left ( 1 - {n \over 6^3} \right )^{x-k}

Si quieres una fórmula para obtener la relación entre n y el IV también la tenemos. Dado un IV exacto, el número de combinaciones m posibles para dicho IV es:

m = Floor\left ( 28.2 * e^{-(IV - 37.5)^2/21.25} \right )

Siendo Floor una función que quita los decimales y IV la suma de los tres IV’s (en el rango 0-45 en lugar de 0-100).

Por tanto, nuestro n que determina el número de combinaciones para un valor mínimo del IV (excluyente) es:

n = \sum_{x=IV+1}^{45}Floor\left ( 28.2 * e^{-(x - 37.5)^2/21.25} \right )

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